L'accélération en relativité restreinte

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Validité du développement

Gravitation deux dimensions Est-il raisonnable de discourir de l'accélération dans le cadre de la relativité restreinte? Oui si on ne tient pas compte de l'effet de la gravitation, c'est-à-dire que l'on se place dans une situation ou le champ de gravitation à une valeur faible par rapport à l'accélération qui est envisagée. Typiquement la situation lorsqu'on se place dans l'espace interstellaire.

Dans les cas ou le champ de gravitation est important (proximité de masses importantes), il faut se référer à la relativité générale.

Le point de départ

Le point de départ de cette réflexion est: dans un vaisseau spacial en accélération constante, combien de temps faut-il pour aller d'un point à un autre? A partir de quelle distance ou de quelle durée d'accélération doit on tenir compte des effets relativistes?

Bételgeuse?Je me suis posé cette question à la lecture du livre "la planète des singes" de Pierre Boulle. Dans le cadre de cette palpitante histoire, il est question d'un voyage entre la terre et l'étoile géante Bételgeuse située à 300 années lumière de la terre (donnée du livre qui correspond à ce que les estimations donnaient à l'époque de son écriture, car cette distance est actuellement (2011) plutôt évaluée à 427 AL, mais sans grande conviction).

Ce voyage se passant sous une accélération constante de 1,5 g pendant 1 an (durée s'écoulant dans le vaisseau spacial), puis un laps de temps de quelques heures à vitesse constantes, suivit d'1 an (toujours mesuré dans le référentiel du vaisseau) de décélération à 1,5 g. L'histoire table donc sur un voyage d'une durée de 2 ans pour les explorateurs dans leur vaisseau spacial, durée qui est différente dans le référentiel terrestre (minimun 300 ans de temps terrestre puisque rien de matériel ne va plus vite que la lumière).

En théorie

Si ce voyage n'était pas accéléré, le temps s'écoulant dans le vaisseau serait facile à calculer sur base des équations largement diffusée de la relativité restreinte.

Avec une vitesse v par rapport à la terre, le voyage prend un temps terrestre = vitesse/distance. La vitesse nous permet de calculer le facteur relativiste


(c étant la vitesse de la lumière dans le vide). Le temps dans le vaisseau est alors égal au temps terrestre divisé par le facteur relativiste.

Avec les indications que l'on trouve dans le roman de Pierre Boulle, le facteur k est de 300/2 = 150 (une distance de 300 AL couverte en 2 ans) et donc la vitesse moyenne de 0.99995555 c. Cette vitesse peut-elle être atteinte (et même dépassée) avec l'accélération constante donnée?

Le développement mathématique présentant le recherche des équations permettant de répondre à cette question est détaillé dans ce document (133 KB).

Résumé du développement théorique

En résumé, pour un vaisseau de masse m0 subisant une poussée F sur une distance x, le temps de parcours vu du point de départ du vaisseau est donné par la formule:


Le facteur k maximum et moyen étant donné par les formules:



Le temps de parcours dans le vaisseau est donc de

Application de la théorie au cas étudié

LivreEn utilisant les données du roman "la planète des singes", le temps de parcours le plus court serait celui ou la moitier du chemin est parcourue en accélérant et l'autre moitier en décélérant. Dans ces conditions, avec une distance totale de 300 AL (2.8401*1018 m), la durée minimum du voyage pour les explorateurs est de 7.81 ans (301,2 ans terrestre).

Si l'on suit à la lettre les indications du livre, on arrive à une durée de voyage de 130 ans pour les explorateurs (328 ans de temps terrestre). Si l'on veut respecter la durée de 2 ans pour le voyage, il faut augmenter l'accélération du véhicule spacial. En prenant en compte une accélération sur la moitier de la distance suivie d'une décélération sur l'autre moitier de la distance, celle-ci devrait être de 73.7 m/sec2 (7.5 g) et la vitesse maximum atteinte sera de 0.999999629 c.

Conclusion

Malgré ce résultat mitigé, n'hésitez pas à lire "la planète des singes" de Pierre Boulle, le livre a une histoire bien plus amusante et subtile que les films qui s'y réfèrent. Ne négligez pas non plus ses autres ouvrages (La baleine des Malouines, un métier de seigneur, Les vertus de l'enfer, Le jardin de Kanashima...Bibliographie) vous ne le regretterez pas.

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