Signification des coéfficients d'une transformée par l'ondelette de Haar

Page d'accueil · Une courte introduction aux ondelettes

La fonction et sa transformée

Haar?

L'application d'une transformée par ondelette de Haar (non normalisée pour la facilité des calculs) transforme les valeurs discrètes de la fonction en leurs coéfficients d'ondelettes.

La fonction utilisée pour visualiser les coéfficients d'ondelette est une fonction périodique en "dents de scie" qui présente des similitudes avec l'ondelette de Haar utilisée comme transformée (voir ci-contre).

La Fonction "dents de scie" Sa transformée par L'ondelette de Haar
Fonction dents de scie Transformée par l'ondelette de Haar

La Fonction de départ est discrétisée en 1024 valeurs, qui après application de la multirésolutions sont transformées en 1023 coéfficients d'ondelette + le résultat de la fonction d'échelle qui dans le cas de l'ondelette de Haar est la moyenne de la fonction (0 dans ce cas) et qui se trouve à l'index 0.

Le coéfficients d'ondelettes vont de l'index 1 à l'index 1023. En respectant le principe de la multirésolution, les premier 512 coéfficients d'ondelettes calculés (les premiers détails) sont repris de l'index 512 à 1023, les deuxièmes 256 coéfficients d'ondelettes calculés sur base du premier signal comprimé par la fonction d'échelle (qui étaient repris de l'index 0 à l'index 511) sont repris de l'index 256 à 511, .... et ainsi de suite, ce qui permet d'établir le tableau suivant:

Multirésolution Signal restant - index: Ondelette associée - index:
de à de à
Départ 0 1023 - -
1° niveau 0 511 512 1023
2° niveau 0 255 256 511
3° niveau 0 127 128 255
4° niveau 0 63 64 127
5° niveau 0 31 32 63
6° niveau 0 15 16 31
7° niveau 0 7 8 15
8° niveau 0 3 4 7
9° niveau 0 1 2 3
10° niveau 0 0 1 1


zoom sur les premiers coéfficients de Haar

Si on regarde de plus près les coéfficients d'ondelettes des derniers niveaux sur le zoom présenté ci-contre, on comprend que la dernière valeur de la fonction d'échelle qui dans le cas de l'ondelette de Haar représente la moyenne du signal soit égale à 0 (index 0), mais alors que représente la valeur de 128 (index 1) pour l'ondelette de 10° niveau? Et pourquoi les coéfficients de l'ondelette de 9° niveau (index 2 et 3) niveau sont-il nul? Pour montrer la signification des valeurs des coéfficients d'ondelette, nous allons reconstruire le signal grâce à la transformée inverse en ne tenant compte que des valeurs dont nous cherchons la signification, les autres valeurs étant mises à zéro pour qu'elles n'influencent pas la reconstruction du signal.

Transformée inverse de la fonction

L'application d'une transformée inverse par ondelette de Haar (non normalisée pour la facilité des calculs) transforme les coéfficients d'ondelettes en leurs valeurs discrètes de la fonction.

En réutilisant les coéfficients déterminés par la transformée, on optient à nouveau la fonction de départ

Coéfficients d'ondelettes de départ La Fonction recalculée
Transformée par l'ondelette de Haar Fonction dents de scie

L'utilisation de la totalité des coéfficients d'ondelettes déterminés permet bien une reconstruction à l'identique de la fonction de départ.

Signification de l'ondelette de 10° niveau

Lorsque l'on applique la transformée inverse du signal en ne tenant compte que du coéfficient d'ondelette du 10° niveau (soit 128 à l'index 1), on obtient la fonction suivante (en bleu, la trace verte étant celle de la fonction de départ). La fonction reconstruite à une valeur de +128 de l'index 0 à l'index 511 et de -128 de l'index 512 à l'index 1023.

Transformée inverse niveau 10 seul

On sait aussi que l'ondelette d'analyse au 10° niveau est une fonction dont la valeur est +1 de l'index 0 à l'index 511 et de valeur -1 de l'index 512 à l'index 1023. La valeur "128" signifie donc que L'ondelette de niveau 10 avec une amplitude de 128 est celle qui représente le mieux la fonction en dent de scie étudiée par une ondelette de Haar.

On peut retrouver la valeur de 128 en calculant la moyenne du produit de l'ondelette de 10° niveau par la fonction en dent de scie pour chacunes des 1024 valeurs discrètes de ces fonctions:

Fonction dent de scie Ondelette 10° niveau
n f(n)
0->255 n
256->767 512-n
768->1023 n-1024
n f(n)
0->511 +1
512->1023 -1

  • 1° de 0->255: (0*1 + 1*1 + 2*1 + 3*1 + ... + 254 * 1 + 255 * 1)/256 = 127.5
  • 2° de 256->511: (256*1 + 255*1 + 254*1 + ... + 2 * 1 + 1 * 1)/256 = 128.5
  • 3° de 512->767: (0*-1 + -1*-1 + -2*-1 + -3*-1 + ... + -254 * -1 + -255 * -1)/256 = 127.5
  • 2° de 768->1023: (-256*-1 + -255*-1 + ... + -2 * -1 + -1 * -1)/256 = 128.5
=> une moyenne de (127.5 + 128.5 + 127.5 + 128.5) /4 = 128.

Signification de l'ondelette de 9° niveau

Lorsque l'on applique la transformée inverse du signal en ne tenant compte que des 2 coéfficients d'ondelettes du 9° niveau (soit -0.5 à l'index 2 et 0.5 à l'index 3), on obtient la fonction suivante (en bleu, la trace verte étant celle de la fonction de départ). La fonction reconstruite à une valeur de pratiquement nulle de l'index 0 à l'index 1023.

Transformée inverse niveau 9 seul

On sait aussi que les ondelettes d'analyse au 9° niveau sont une fonction dont la valeur est +1 de l'index 0 à l'index 255 et de valeur -1 de l'index 256 à l'index 511, et une autre fonction dont la valeur est de +1 de l'index 512 à l'index 767 et de valeur -1 de l'index 768 à l'index 1023. Les valeurs de -0.5 et 0.5 signifient donc que Les ondelettes de niveau 9 ne ressemblent pas du tout à la fonction en dent de scie étudiée.

explication visuelle de la valeur nulle des coéfficients de l'octave 9

Pour mettre cette constatation en évidence, il suffit de regarder les deux fonctions représentées ci-contre. Dans ce cas, Les ondelettes de niveau 9 ont été représentées avec une amplitude de 200. Si on refait l'exercice du chapitre précédent en calculant la moyenne du produit la première ondelette de niveau 9 par la fonction en dent de scie (de l'index 0 à 511), on s'apperçoit que la moyenne du produit calculée de l'index 0 à 255 (+1 pour l'ondelette et de 0 à 255 pour la fonction en dent de scie) est compensée par la moyenne du produit calculée de l'index 256 à 511 (-1 pour l'ondelette et de 256 à 1 pour la fonction en dent de scie). La valeur constatée de -0.5 s'explique par la légère dissymétrie de la fonction en dent de scie sur l'intervalle (0,511).

Signification de l'ondelette des autres niveaux

En se basant sur ce qui a été constaté dans les deux chapitres précédents, une visualisation de la reconstruction du signal par les coéfficients d'ondelettes des différents niveaux seuls ainsi que la reconstruction du signal en prenant en compte tous les coéfficients d'ondelettes depuis le 10° niveau vers le niveau présenté se suffit à elle-même:

Reconstruction 8° niveau Reconstruction de 10 à 8
Reconstruction du signal en ne tenant compte que du 8° niveau Reconstruction du signal en tenant compte des niveaux 10 à 8

Reconstruction 7° niveau Reconstruction de 10 à 7
Reconstruction du signal en ne tenant compte que du 7° niveau Reconstruction du signal en tenant compte des niveaux 10 à 7

Reconstruction 6° niveau Reconstruction de 10 à 6
Reconstruction du signal en ne tenant compte que du 6° niveau Reconstruction du signal en tenant compte des niveaux 10 à 6

Reconstruction 5° niveau Reconstruction de 10 à 5
Reconstruction du signal en ne tenant compte que du 5° niveau Reconstruction du signal en tenant compte des niveaux 10 à 5

Et ainsi de suite jusqu'au premier niveau qui permet une reconstruction parfaite du signal de départ.

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