Filtre à ondelette - principe de base

Page d'accueil · Une courte introduction aux ondelettes

Le signal à traiter

Pour montrer le principe du filtre à ondelette, on va partir d'un signal "pur" que l'on va artificiellement perturber pour obtenir un signal à filtrer.

Le signal "pur" Le signal "perturbé"
signal pur Signal perturbé

L'avantage de perturber artificiellement le signal est de connaître la forme du signal a retrouver, donc de mieux pouvoir juger de la performance du filtrage.

Filtrage

Le principe de filtrage qui va être illustré est tout simplement l'annulation des coéfficients d'ondelettes des premiers niveaux de l'analyse en multirésolution.

Lorsque l'on applique une transformée d'ondelette sur un signal, on obtient ce même signal codé en coéfficients d'échelles et en coéfficients d'ondelettes. Si on applique la transformée inverse sur ce signal codé, sans modifier les coéfficients résultant de ce codage, on obtient identiquement le signal de départ.

Par contre, si on modifie les coéfficients du signal codé, la transformée inverse donnera un autre signal. Si le signal de base est perturbé et que l'on veut voir ce que donne le signal "en moyenne", il faut enlever les perturbations (les détails). Après une transformée d'ondelettes, les "détails" se retrouvent principalement dans les premiers niveaux de l'analyse. Une possibilité de filtrage consiste donc à annuler les premiers niveaux et à appliquer la transformée inverse pour obtenir le signal débarrasé des détails génant.

Transformée de Haar complète Signal reconstruit
Transformée complète Signal non filtré

Transformée de Haar - annulation des coéfficients d'ondelette de premier niveau Signal reconstruit
Transformée avec annulation des coéfficients de premier niveau Signal filtré de 1° niveau

Transformée de Haar - annulation des coéfficients d'ondelette des deux premier niveaux Signal reconstruit
Transformée avec annulation des coéfficients des deux premier niveaux Signal filtré de 2° niveau

Avec cette méthode grossière, de part la forme de l'ondelette de Haar, le signal reconstruit va rapidement présenter des "escaliers" non souhaités. Il est alors préférable de choisir une ondelette plus "ronde" pour persévérer avec ce type de filtrage. Par exemple, en utilisant une ondelette de type symmlet à 16 coéfficients:

Transformée Symmlet16 complète Transformée Symmlet16 - annulation de quelques premiers niveaux
Transformée avec annulation des coéfficients des deux premier niveaux Signal filtré de 2° niveau

Résultat de la transformée inverse

Transformée avec annulation des coéfficients des deux premier niveaux

Différentes politique de seuillage en filtration

Seuillage dur

Le principe du seuillage dur est conserve ou annule. La valeur absolue de tous les coéfficients d'ondelettes est comparée à une valeur de seuil fixée:

  • Si cette valeur est supérieure à ce seuil, le coéfficient d'ondelette est conservé comme tel;
  • Si cette valeur est inférieure à ce seuil, le coéfficient d'ondelette est remplacé par 0.

Seuillage doux

Le principe du seuillage doux est modifie ou annule. La valeur absolue de tous les coéfficients d'ondelettes est comparée à une valeur de seuil fixée:

  • Si cette valeur est supérieure à ce seuil, le coéfficient d'ondelette est modifié en retirant la valeur du seuil au coéfficient;
  • Si cette valeur est inférieure à ce seuil, le coéfficient d'ondelette est remplacé par 0.

Seuillage par pourcentage

le principe de ce seuillage est de déterminer un pourcentage de coéfficients devant être mis à 0. Par exemple, remplacer 40% des plus petits de tous les coéfficients d'ondelettes par 0.

Choix de la valeur de seuil

La valeur de seuil dite universel est donnée par la formule:

seuil = σ √(2 log(n)) / √(n)

ou n est le nombre de donnée du signal traité et σ est l'écart type de ce signal. Ce seuil universel est alors utilisé en seuillage doux ou dur.

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