Exemple de calcul avec l'ondelette de Daubechies 4

Page d'accueil · Une courte introduction aux ondelettes

Transformée en ondelettes de Daubechies 4

Daub 4

L'algorithme de transformée d'ondelette de Daubechies est composé d'une fonction d'ondelette et d'échelle. Les coefficients de la fonction d'échelle sont notés "h" et les coefficients de la fonction d'ondelette sont notés "g". L'application de la fonction d'échelle à un signal "y" donne un coéfficient de type "e" et l'application de la fonction d'ondelette à ce même signal "y" donne un coefficient de type "o"

La transformée est appliquée comme une multiplication matricielle du type (pour daub4):

| h0 h1 h2 h3 0 0 0 0 | | y1 |   | e1 |            | e1 |
| g0 g1 g2 g3 0 0 0 0 | | y2 |   | o1 |            | e2 |
| 0 0 h0 h1 h2 h3 0 0 | | y3 |   | e2 |            | e3 |
| 0 0 g0 g1 g2 g3 0 0 | | y4 | = | o2 | on permute | e4 |
| 0 0 0 0 h0 h1 h2 h3 | | y5 |   | e3 | pour avoir | o1 |
| 0 0 0 0 g0 g1 g2 g3 | | y6 |   | o3 |            | o2 |
| h2 h3 0 0 0 0 h0 h1 | | y7 |   | e4 |            | o3 |
| g2 g3 0 0 0 0 g0 g1 | | y8 |   | o4 |            | o4 |

en réapliquant le traitement sur les 4 premières valeurs après permutation:

| h0 h1 h2 h3 | | e1 |   | e1' |                       | e1' |
| g0 g1 g2 g3 | | e2 |   | o1' | on permute pour avoir | e2' |
| h2 h3 h0 h1 | | e3 | = | e2' |                       | o1' |
| g2 g3 g0 g1 | | e4 |   | o2' |                       | o2' |

on obtient ainsi la multirésolution. Dans ce cas, le traitement s'arrête à ce stade, car il faut 4 valeurs pour le calcul.

Les coefficients de la transformée de Daubechies sont calculés (entre autre) pour que la matrice transposée soit la matrice inverse:

| h0 h1 h2 h3 | | h0 g0 h2 g2 |   | 1 0 0 0 |
| g0 g1 g2 g3 | | h1 g1 h3 g3 | = | 0 1 0 0 |
| h2 h3 h0 h1 | | h2 g2 h0 g0 |   | 0 0 1 0 |
| g2 g3 g0 g1 | | h3 g3 h1 g1 |   | 0 0 0 1 |

donc, a chaque niveau, la matrice de la transformée inverse est la matrice transposée de la transformée:

| h0 g0 h2 g2 | | e1' |   | e1 |
| h1 g1 h3 g3 | | o1' | = | e2 |
| h2 g2 h0 g0 | | e2' |   | e3 |
| h3 g3 h1 g1 | | o1' |   | e4 |

| h0 g0 0 0 0 0 h2 g2 | | e1 |   | y1 |
| h1 g1 0 0 0 0 h3 g3 | | o1 |   | y2 |
| h2 g2 h0 g0 0 0 0 0 | | e2 |   | y3 |
| h3 g3 h1 g1 0 0 0 0 | | o2 | = | y4 |
| 0 0 h2 g2 h0 g0 0 0 | | e3 |   | y5 |
| 0 0 h3 g3 h1 g1 0 0 | | o3 |   | y6 |
| 0 0 0 0 h2 g2 h0 g0 | | e4 |   | y7 |
| 0 0 0 0 h3 g3 h1 g1 | | o4 |   | y8 |

qui permet de retrouver le signal de départ.

Page précédente   Haut   Page suivante