Lentilles gravitationnelles - Théorie

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Equations dans le plan

représentation des angles alpha, beta, deltaLa relativité générale donne pour la déviation d'un rayon lumineux par une masse la formule suivante:

delta = L/r avec L = (4GM)/c^2

Dans un monde plan, nous considèrerons qu'une source lumineuse S est vue sous un angle alpha par un observateur O suite à la présence d'une masse M. Cette masse M est située à une distance z1 de l'observateur et la source lumineuse est située à une distance z2 de la masse. La droite passant par l'observateur et la masse est la ligne de visée de l'observateur. La source lumineuse est quelque part dans sur la droite à la distance z1+z2 de l'observateur. Les équations que nous allons établir doivent réponde à la question: un rayon lumineux arrivant à l'observateur sous un angle alpha par rapport à la ligne de visée provient-il de la source lumineuse?

Nous pausons comme hypothèses simplificatrices:

  • que, contrairement au schéma, les angles sont très petit et donc que l'angle est égal à sa tangeante (en radian); autrement dit, que les distances z sont beaucoup plus grandes que les distances r et y;
  • que, pour la portion de ciel vue, tous les points des plans contenant les masses et les sources lumineuses sont à la même distance de l'observateur O (toujours parce que z est beaucoup plus grand que r et y);
  • que la distance r entre la masse et le point d'inflexion du rayon lumineux est à l'intersection des deux droites représentant le rayon lumineux. En réalité, la trajectoire des photons s'incurve et s'approche donc un peut plus de la masse M.

du schéma, nous en déduisons les formules suivantes:

alpha = r/z_1; beta = alpha - delta; y = r + beta z_2;

d'ou y = r + z_2 (r/z_1 - L/r)

La même disposition en 3 dimensions

représentation des angles alpha, beta, delta
Si on reprend la disposition précédente dans l'espace à trois dimensions, nous aurons un observateur au coordonnées (0,0,0), une masse Ma aux coordonnées (0,0,z1) et une source lumineuse aux coordonnées (x2, y2, z1+z2). L'axe Z est la ligne de visée de l'observateur.

En considérant que le plan contenant la masse Ma(à une distance z1 de l'observateur) contient tous les "points" ou se produit la déviation des rayons lumineux, on définit:

  • ra comme étant la distance entre la masse et un point de déviation de coordonnées (x1,y1,z1).
  • ralpha comme étant la distance entre l'intersection de la ligne de visée avec le plan contenant la masse (0,0,z1)et un point de déviation de coordonnées (x1,y1,z1).

Dans ce cas-ci, r_a = r_alpha=sqrt((x_1)^2+(y_1)^2). La déviation du rayon lumineux par la masse est donc:
delta = L_a/r_a avec L = (4GM_a)/c^2

Tous les angles vont être utilisés dans leurs composantes x et leurs composantes y. Nous aurons donc: alpha = r_alpha/z_1 et ...

De la même manière que dans le cas dans le plan, nous arrivons aux formules finales:
x_2 = .... et y_2 = ...

Premières images

Avec cette incursion dans les trois dimensions, nous avons établis les équations qui nous permettent de produire nos premières images, la source lumineuse étant en rouge et la masse déviante en vert. Dans l'ordre, il y a la source lumineuse seule sur la ligne de visée (pour voir de quoi on part), la même source sur la ligne de visée avec une masse déviante bien choisie, puis la source lumineuse est déplacée en haut à droite.

La source lumineuse seule La source lumineuse et la masse sur la ligne de visée La source lumineuse en haut à droite

C'est amusant, mais malheureusement beaucoup trop limité, on ne peut placer qu'une seule masse et toujours sur la ligne de visée. On va tenter de faire mieux.

La masse bouge

représentation des angles alpha, beta, delta
On reprend la disposition précédente de l'espace à trois dimensions avec un observateur au coordonnées (0,0,0) et une source lumineuse aux coordonnées (x2, y2, z1+z2), mais avec une masse Ma aux coordonnées (xa,ya,z1) . L'axe Z est toujours la ligne de visée de l'observateur.

La formule de déviation des rayons lumineux reste la même, mais ra et ralpha ne sont plus identiques.
r_alpha = sqrt((x_1)^2+(y_1)^2)

cette modification a une influence sur l'expression de l'angle delta:
delta =

qui sera simplement reprise dans l'expression des coordonnées en z2:
xz2 = ... yz2 = ...

Et c'est tout... En regardant ces deux dernières équations, on constate que la correction apporté par la masse n'est qu'un terme additionnel. S'il y avait deux masses, il y aurait simplement deux termes avec deux delta différents. Leurs effets sont cumulables. Ces équations nous permettent donc de calculer l'effet de lentille pour plusieurs masses contenues dans le même plan.

Nous pouvons aussi avoir plusieurs sources lumineuses dont la distance z2 n'est pas obligatoirement la même pour toutes les sources lumineuses. D'un même point dans le champs de vision peut en effet provenir la lumière de plusieurs sources situées à des distance différentes de l'observateur.

Finalement, le fait de donner tous les angles par rapport à la ligne de visée pemet d'additionner ceux-ci. Si à la distance z2, au lieu de la source lumineuse, il y avait une masse déviante, on pourrait reprendre le beta calculer comme le nouvel alpha et réutiliser les mêmes équations.

Nous disposons donc des équations suffisantes pour faires des tas de simulations, ce que nous n'allons pas nous priver de faire.

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