Fraction continue périodique

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!!! Cette page présente des formules en Mathml!!! (Ici, une version pdf de cette page si nécessaire.)

Introduction

La racine positive d'une équation du second degré peut toujours être décomposée en une fraction continue avec une partie périodique. Le but des développements présentés dans ce document est de partir d'une période constaté dans un développement en fraction continue pour en proposer la racine d'origine.

Cette page présente une version allégée du développement plus complet qui est contenu dans ce document.

Développement direct

Le développement direct consiste à analyser des racines qui présentent des simulitudes dans la partie périodique. Il est alors possible de proposer des équations générales regroupant ces racines. Par exemple, le groupement suivant:

  • 2 = [1, 2, 2, 2, 2, 2 ...] = [1, 2]
  • 5 = [2, 4, 4, 4, 4, 4 ...] = [2, 4]
  • 10 = [3, 6, 6, 6, 6, 6 ...] = [3, 6]
  • 17 = [4, 8, 8, 8, 8, 8 ...] = [4, 8]

On constate:

  • d'une part que : 2 = 12+1, 5 = 22+1, 10 = 32+1, 17 = 42+1;
  • d'autre part que 2 = 2 × 1, 4 = 2×2, 6 = 2×3, 8 = 2×4

donc en généralisant le développement en fraction continue que n 2 + 1 = [n, 2n]

Prolonger ce type de développement direct va rapidement devenir assez indigeste. En outre, il ne permet que de dresser un catalogue de fraction continue périodique, une sorte d'encyclopédique peut efficace.

Une approche plus ciblée est nécessaire.

Développement inverse

La méthode du développement inverse consite à partir d'une période connue dans un développement en fraction continue pour en trouver la racine d'origine. Un exemple de cette méthode est présenté ci-dessous.

Soit N = [n, 2n]. En ne prenant que la partie périodique, on pose M = [2n, M] = 1 0 2n 1 2nM+1 M

=> M = 2nM + 1 M => M 2 - 2nM - 1 = 0 => M = n + n 2 + 1 = [2n].

En remplaçant la partie périodique par sa valeur M, nous avons à présent:
N = [n, M] => N = n + 1 M => N = n + 1 n + n 2 + 1 => N = n n + n 2 + 1 + 1 n + n 2 + 1

=> N = n 2 + 1 + n n 2 + 1 n + n 2 + 1 => N = n 2 + 1 n + n 2 + 1 n + n 2 + 1 => N = n 2 + 1 = [n, 2n]

Cette méthode permet une recherche plus ciblée sur la période voulue, mais nécessite encore des développements qui vont vites en rendre l'application encore une fois indigeste.

Généralisation des résultats

Il est possible de généraliser les développements des deux exemples précédents pour donner des formules directement applicable après le développement en fractions réduites.

Il n'est donné ici que le résultat de cette généralisation, le développement complet est donné dans ce document.

Fraction continue d'une suite périodique

Soit N = [a, b, c, d] qui donne la suite de fractions réduites:

1 0 a 1 ab+1 b A B C D

alors :
N = (C-B) + (C-B) 2 + 4DA 2D

qui est facilement utilisable avec des valeurs numériques ou symboliques.

Fraction continue d'une suite périodique symétrique

Soit N = [n, a, b, c, d, c, b, a, 2n]. On ne prend que la partie répétitive [a, b, c, d, c, b, a, 2n] qui donne la suite de fractions réduites :

1 0 a 1 ab+1 b ... E D B C 2nB+E 2nC+D

alors:
N = n 2 + 2nC + D B

qui est facilement utilisable avec des valeurs numériques ou symboliques.

A l'utilisation

Différents développements étudiés permettent de constater qu'une même racine peut être exprimées par différentes fractions continues périodiques.

Par exemple, 20 = 4 2 2 + 1 = [4, 2, 8] = 4 (3/2) 2 + 3/2 + 5 = [4, 3/2, 1, 1, 3/2, 8]. Il apparait même que 20 = [4, 3/2, 1] = 4 3/2 1 + 5 2 qui n'est plus périodique (la périodicité est cachée dans 5 ).

La racine positive de l'équation x 2 - nx - 1 = 0 est n + n 2 + 4 2 = [n] . Nous pouvons écrire cette équation de différentes façons:

  • x = n + 1 x = n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 ...
  • x = 1 + n x = 1 + n 1 + n 1 + n 1 + n ...

En attribuant la valeur 1 à n, on retrouve le nombre d'or φ = 1 + 5 2 = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ... = 1 + 1 + 1 + 1 + ... .

Si on prend plutôt la valeur π, nous pouvons écrire les égalités:

  • π + π 2 + 4 2 = 3.4328922159...
  • π + π 2 + 4 2 = π + 1 π + 1 π + 1 π + 1 ...
  • π + π 2 + 4 2 = 1 + π 1 + π 1 + π 1 + π ...

Comme on peut attribuer n'importe qu'elle valeur à n, tout nombre devrait pouvoir être écrit comme une fraction continue périodique de type [n].

En repartant de l'équation x = n + 1 x , on écrit directement, n = x - 1 x et donc x = [x-1/x ].

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