Méthode d'approximation numérique de π (PI)

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Première piste : les fractions continues régulières

Ramanujan était un mathématicien de génie qui pensait les nombres en terme de fraction continue. Il est effectivement possible de donner des approximations de π sous la forme d'un quotient de 2 entiers en partant de la décomposition de π en fraction continue régulière:

π 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + ... = (3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+.....))))))

soit en format abrégé: π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, ....] qui donne la suite de fraction réduites:

3 1 22 7 333 106 355 113 103993 33102 104348 33215 ...

En calculant les valeurs de ces fractions, on constate que l'approximation donnée par 355 113 = 3.141592|92 est bien supérieure à celle donnée par 333 106 = 3.1415|094 qui porte pourtant sur des entiers du même ordre de grandeur. Le nombre 292 présent dans la liste de dénominateurs de la fracion continue régulière de π nous indique une méthode directe pour prévoir ce type de comportement: un "grand nombre" implique une bonne approximation par la fraction réduite obtenue avec les dénominateurs placés avant ce "grand nombre".

En regardant la série d'approximations de π de Ramanujan:

9 2 + 19 2 22 1 4 = 102 - 2222 22 2 1 4 = 97 + 1 2 - 1 11 1 4 = 97 + 9 22 1 4 = 3.14159265|258

on peut se demander ce que donne la décomposition de π 4 en fraction continue régulière:

π 4 = 97.40909103... = 97 2 2 3 1 16540 ...

16540 étant un "très grand nombre", on peut prévoir que la fraction réduite précédent l'utilisation de ce nombre sera une très bonne approximation de π. En effet, 2143 22 1 4 = 3.14159265|258 est une très bonne approximation. On remarque d'ailleur que les quatres approximations données par Ramanujan sont toutes des expressions différentes de cette même fraction qui visiblement lui avait tapé dans l'oeil.

Nous pouvons donc conclure cette première piste par l'énoncé:.

Règle n°1
décomposer en fraction continue régulière.

Application de la règle n°1

Si on prend un nombre dérivant de π : soit π 7 = 1.187410412 que l'on décompose en fraction continue régulière, nous obtenons: [1, 5, 2, 1, 42, 1, 10, ....]. "42" étant un nombre plus grand que les autres, on en déduit que la fraction réduite 19 16 correspondant aux termes précédents 42 est une bonne approximation et donc que π 7 19 16 ce qui peut s'écrire π 19 16 7 qui est une approximation de π donnée par Ramanujan. Nous sommes sur la bonne voie.

Seconde piste: posons une équation

En regardant la formule π 355 113 ( 1 0.0003 3533 ) de Ramanujan, on remarque que 355 113 est une des fractions réduites provenant de la décomposition en fraction continue régulière de π. Si on compare les deux fractions réduites suivantes:

  • π 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 = 355 113 = 3,141592_|_9203539....
  • π 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 14 = 80143857 25510582 = 3,14159265358979_|_43...

on constate que 355 113 > 80143857 25510582 .

Donc il existe un réel x tel que 355 113 ( 1 x ) = 80143857 25510582 => 1 x = 80143857 25510582 113 355 => x = 769 9056256610 = 0.0003 3532.999978351....

=> x 0.0003 3533 => π 355 113 ( 1 0.0003 3533 )

Il est également possible d'écrire directement l'équation π = 355 113 ( 1 x ) et d'en chercher la solution : x = 1 113π 355 = 0.000000085....

Cette approximation de π est à ce moment là déduite d'une équation donnant une valeur approchée de π. Nous pouvons donc énoncer la:

Règle n°2
poser une équation permettant d'obtenir Π comme solution approchée.

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