Méthode d'approximation numérique de π (PI)

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Retour sur les fractions continues

Coéfficients non entier

Si on décompose l'équation x = π 2 1 + 7 = 2.707152392 en fraction continue régulière [2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, ...] on ne voie pas de "grand nombre" apparaître. Par contre, la suite [..., 1, 2, 2, 2, 2, ...] nous fait penser au développement en fraction continue de 2

Et si dans le développement en fraction continue, on remplaçait cette suite caractéristique par sa valeur de 2 ? On obtient alors x = π 2 1 + 7 = 2.707... = [2, 2 , -10961, -1, ...],on voie ainsi apparaître un "grand nombre" qui suggère la possibilité d'une bonne approximation. Les fractions réduites sont:

2 1 2 2 + 1 2 10961 2 2 + 1 - 2 10961 2 - 1 ...

Si on garde comme valeur approchée 2 2 + 1 2 = 2 + 1 2 , on peut écrire l'approximation de π :
π 1 + 7 2 + 1 2 = 3.1415|661...

De la même manière, si on part de l'équation x = π 2 1 + 5 = 3.049875488 décomposée en fraction continue régulière [3, 20, 20, 35, 3, ...] qui donne les fractions réduites :

3 1 61 20 1223 401 ...

on peut écrire directement une approximation de π du style:
π 1 + 5 35 2 - 2 20 2 + 1 = 3.141592|563...

mais on peut aussi décomposer de la manière suivante: [3, 402 , -119110, ...] et écrire l'approximation :
π 1 + 5 3 402 + 1 402 = 3.1415926|43...

qui puisque le nombre d'or φ = 1 + 5 2 , permet d'écrire finalement:
π φ 6 201 + 2 201 = 3.1415926|43...

Fraction continues périodiques

Les racines des équations du second degrés donnent des fractions continues périodique. Par exemple, l'équation φ = n + 1 φ a pour racine positive :

φ = n + n 2 + 4 2

et se décompose en fraction continue :
n = n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 1 + ... = [n, n, n, n, n, n, n, ....] = [n]
en remplaçant φ par sa valeur dans l'équation de départ.

Si dans un développement en fraction continue, on tombe sur une suite de même nombre tel que [... , 3, 3, 3, 3, 3, ...], on peut remplacer cette suite par le nombre approximatif 3 + 3 2 + 4 2 = 3 + 13 2

En réalité, la fraction continue [3, 3, 3, 3, 3] à pour fraction réduite 360 109 . L'approximation donnée à ainsi une erreur de 0.0007\%, avec des nombres 27 fois moins grand.

De même, si on part de l'équation φ = n + n φ qui a pour racine positive φ = n + n 2 + 4n 2 , on arrive sur la fraction continue [n, 1, n, 1, ...], soit [n, 1].

Par contre, réaliser un catalogue reprennant les différentes combinaisons possible pour toutes les périodes immaginables n'est pas réaliste. Nous allons donc nous orienter vers le recherche de la racine correspondant à une suite périodique quelconque.

Fraction continue d'une suite périodique

Soit N = [a, b, c, d] qui donne la suite de fractions réduites:

1 0 a 1 ab+1 b A B C D

alors :
N = (C-B) + (C-B) 2 + 4DA 2D

qui est facilement utilisable avec des valeurs numériques ou symboliques.

Par exemple, soit N = [n], qui donne la suite de fractions réduites :

1 0 n 1

donc A = 1, B = 0, C = n et D = 1, permet de trouver l'équation: N = n + n 2 + 4 2 déjà vue précédemment.

Par exemple, soit N = [6, 5, 4, 3, 2, 1], qui donne la suite de fractions réduites :

1 0 6 1 31 5 130 21 421 68 972 157 1393 225

permet de trouver le nombre N = 1236 + 2402496 450 = 618 + 775 2 - 1 225 .

Fraction continue d'une suite périodique symétrique

Soit N = [n, a, b, c, d, c, b, a, 2n]. On ne prend que la partie répétitive [a, b, c, d, c, b, a, 2n] qui donne la suite de fractions réduites :

1 0 a 1 ab+1 b ... E D B C 2nB+E 2nC+D

alors:
N = n 2 + 2nC + D B

qui est facilement utilisable avec des valeurs numériques ou symboliques.

Par exemple, soit N = [n, 2, 3, 2, 2n]. On ne prend que la partie répétitive [2, 3, 2, 2n] qui donne la suite de fractions réduites :

1 0 2 1 7 3 16 7 32n+7 14n+3

alors:
N = n 2 + 14n + 3 16 .

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