Méthode d'approximation numérique de π (PI)

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Exemple complet

Exemple simple

Soit l'équation x 2 + x - 3 π 2 = 0 qui a pour racine positive x = 1,2235715959... Cette racine décomposée en fraction continue régulière donne [1, 4, 2, 8, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 5, 1, 4, ...]. On prend comme partie répétitive la suite qui commence au cinquième terme [1, 2, 2, 1]. Cette suite donne les fractions réduites:

1 0 2 1 5 2 7 3

et permet de trouver la valeur du nombre donnant cette suite répétitive :

5 + 221 14 .

En utilisant la valeur de la suite répétitive, la racine positive x se décompose en la fraction continue régulière [1, 4, 2, 8, 5 + 221 14 ] qui donne les fractions réduites :

1 0 1 1 5 4 11 9 93 5 + 221 + 154 76 5 + 221 + 126

qui permet dès lors d'utiliser la formule initiale pour écrire l'approximation :

π 2 3 93 5 + 221 + 154 76 5 + 221 + 126 2 + 93 5 + 221 + 154 76 5 + 221 + 126 = 3.1415926|7... .

Exemple double

Soit l'équation π = x + 3 x 3 qui a pour racine positive x = 0,38997873... Cette racine décomposée en fraction continue régulière donne [0, 2, π , -6030, ...] qui engendre les fractions réduites:

1 0 0 1 1 2 π 2 π + 1 ...

En prenant x = π 2 π + 1 , on peut écrire l'approximation:

π π 2 π + 1 + 3 π 2 π + 1 3 = 2 π + 1 π + 1 3 = 2 + 1 π + 1 3

=> π - 1 π 2 + 1 3

=> π π - 1 2 + 1 3 π

=> π π - 2 + 1 3 1

=> π π - 2 + 1 3 2 1

=> π π 2 - 2 2 + 1 3 π + 2 + 1 3 2 1

=> π 3 - 2 2 + 1 3 π 2 + 2 + 1 3 2 π - 1 0

Nous allons transformer cette inéquation en une équation dont une des racines sera une approximation de π.

Donc, soit l'équation => x 3 - 2 2 + 1 3 x 2 + 2 + 1 3 2 x - 1 0 . Nous allons appliquer sur cette équation l'algorithme général de résolution des équations du troisième degré. Soit l'équation générale ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 : les différentes phases de résolutions sont :

  1. calculs intermédiaires :
    • a 0 = d/a = -1 1 = 1
    • a 1 = c/a = 2 + 1 3 2 1 = 2 + 1 3 2
    • a 2 = b/a = - 2 2 + 1 3 1 = - 2 2 + 1 3
    • a 3 = a 2 /3 = - 2 3 2 + 1 3
    • p = a 1 - a 3 a 2 = - 2 + 1 3 2 3
    • q = a 0 - a 1 a 3 + 2 a 3 3 = 2 27 2 + 1 3 3 - 1
  2. calcul du discriminant : Δ = (q/2) 2 + (p/3) 3 = - 2 + 1 3 3 27 + 1 4 = -0.384...
  3. Comme Δ < 0 il y a alors trois solutions réelles :
    • x 1 = u cos(t) - a 3
    • x 2 = u cos(t + 2 π / 3) - a 3
    • x 3 = u cos(t + 4 π / 3) - a 3
    avec
    • u = 2 (-p/3) 0.5 = 2 3 2 + 1 3
    • v = -q/2 -p/3 3/2
    • t = arcos (v/3)

Comme une des solutions réelles de cette équation est une approximation de π , nous pouvons transformer la solution x1 en :

π = u x - a 3 = 2 3 2 + 1 3 x + 2 3 2 + 1 3 = 2 3 2 + 1 3 (1 + x)

Cette équation a pour solution x = 0,828385... qui se décompose en fraction continue régulière [0, 1, 4, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 4, ...]. On prend comme partie répétitive la suite qui commence au deuxième terme [1, 4]. Le nombre donnant cette suite répétitive est 4 + 32 8 = 1 + 2 2 . Nous allons donner à x sont approximation x 2 1 + 2 , ce qui permet de finalement écrire l'approximation de π :

π 2 3 2 + 1 3 3 + 2 1 + 2 = 3.141|664...

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