Méthode d'approximation numérique de π (PI)

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Equations et fractions continues régulières

1° exemple

En reprennant la formule précédente π = 355 113 ( 1 x ) et sa solution x = 1 113π 355 = 0.000000085.... que nous décomposons en fractions continue régulière [0, 11776666, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ....], nous pouvons écrire les fractions réduites:

1 11776666 1 11776667 2 23553333 3 35330000 5 58883333 8 94213333 13 153096666 21 247309999 76 895026663 ...

On voit facilement que la fraction 3 35330000 peut s'écrire 0.0003 3533 ce qui permet de retrouver l'approximation π 355 113 ( 1 0.0003 3533 ) de Ramanujan.

Comme on connait maintenant les autres fractions réduites possibles, on peut écrire une autre formule approchée du même style: π 355 113 ( 1 76 31 6 + 196 3 81 2 + 7 ) = 3,14159265358979323|571 qui, même s'il elle fait gagner 3 décimales, est vachement moins jolie que l'originale.

2° exemple

On va prendre comme équation de départ: π = x + x dont la solution réelle est x = 1.799964935... décomposable en fraction continue régulière [1, 3, 1, 1139, ...] et qui a comme fractions réduites:

2 1 7 4 9 5 10258 5699 ...

en considérant "le grand nombre 1139" on remplace x par sont approximation 9 5 pour obtenir l'approximation π 9 5 + 9 5 qui, le hasard fait bien les choses, a déjà été donnée par Ramanujan.

3° exemple

On va prendre comme équation de départ: π 2 = x 2 + x + x dont la solution réelle est x = 1.37611408... décomposable en fraction continue régulière [1, 2, 1, 1, 1, 13, 2, 2, 30472, ...] et qui a comme fractions réduites:

1 1 3 2 ... 772 561 23524695 17095018 ...

en considérant "le grand nombre 30472" on remplace x par sont approximation 772 561 pour obtenir l'approximation π 772 561 2 + 772 561 + 772 561 2 = 3,141592653|89... qui, a ma connaissance, n'a pas été donnée par Ramanujan.

Contre-exemple

En regardant les deux approximations équivalentes π 9801 4412 2 = 1 2 2 992 1103 de Ramanujan, on peut être tenté de décomposer x = π 2 = 2.221441469... en fraction continue [2, 4, 1, 1, 15, 3, 1, 8, 4, 1, 1, ...] qui doit nous montrer un "grand nombre" ..., mais pas cette fois-ci! Quand même, les fractions réduites devraient contenir la fraction utilisé:

2 1 9 4 11 5 20 9 311 140 953 429 1264 569 11065 4981 ...

mais ce n'est pas le cas.

En fait, cette approximation trouve sont origine dans la série 1 π = 2 2 9801 n = 0 ( 4 n ) ! ( 1103 + 26390 n ) ( n ) ! 4 ( 396 ) 4 n qui pour n=0 donne 1 π = 2 2 9801 1103 1

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